• まえがき

［第1部　測度論以前のこと］

第1章　長さ，面積，体積の昔

• 1.1　測るということ
• 1.2　どんな形でも測れるのか？
• 1.3　円の面積はなぜπr² か
• 1.4　アルキメデスのとりつくし法
• 1.5　錐体の体積はなぜ柱体の1/3 か

第2章　測り，測られることの数学的基礎1－集合

• 2.1　始まりはいつも集合
  • 2.1.1　集合とはなにか？ －素朴な定義
  • 2.1.2　有限集合と無限集合
  • 2.1.3　無限集合の2つの種類
• 2.2　「図形」を集合と見るには
  • 2.2.1　和集合と共通部分，「または」と「かつ」
  • 2.2.2　差集合と否定
  • 2.2.3　集合の分割と同値関係

第3章　測り，測られることの数学的基礎2－実数と写像

• 3.1　測る「量」としての実数
  • 3.1.1　実数の区間と無限大
  • 3.1.2　実数の実感
  • 3.1.3　実数の連続性について
  • 3.1.4　上極限と下極限
• 3.2　写像
  • 3.2.1　写像の基本
  • 3.2.2　簡単な写像の知識̶ 全射，単射，全単射，逆写像など
  • 3.2.3　ちょっと高度な写像の知識̶ 像と逆像，制限と拡張など
  • 3.2.4　関数と連続性

［第2部　具体から抽象へ－カラテオドリの条件のパズルとルベーグ測度］

第4章　基本図形で覆って測る：外測度の考え方

• 4.1　外測度の考え方
  • 4.1.1　1次元にも複雑な図形がある
  • 4.1.2　複雑な図形をどう測るべきか
  • 4.1.3　「長さゼロ」とは？
  • 4.1.4　区間[0, 1] の外測度は1か？
• 4.2　外測度の性質
  • 4.2.1　他の種類の区間の外測度と単調性
  • 4.2.2　平行移動不変性と加法性
  • 4.2.3　劣加法性

第5章　ルベーグ測度

• 5.1　カラテオドリの条件とルベーグ可測集合
  • 5.1.1　加法性のパズル－ カラテオドリの条件
  • 5.1.2　カラテオドリの条件のパズル：条件の言い換え
  • 5.1.3　パズル2：基本的な図形が条件を満たすこと
  • 5.1.4　パズル3：集合演算が閉じていること
  • 5.1.5　パズル4：可算個の和集合が閉じていること
• 5.2　ルベーグ測度
  • 5.2.1　ルベーグ外測度からルベーグ測度へ
  • 5.2.2　ルベーグ測度の性質
  • 5.2.3　外測度と測度の抽象化への道
  • 5.2.4　ルベーグ可測でない集合

［第3部　抽象から具体へ－測り測られることの本質を抜き出す］

第6章　定義で始める測度論

• 6.1　測られるものたち（σ-加法族）と測るもの（測度）の定義
  • 6.1.1　σ-加法族の定義
  • 6.1.2　測度の定義
• 6.2　σ-加法族の簡単な例
  • 6.2.1　有限集合上のσ-加法族
  • 6.2.2　一般の集合上のσ-加法族の簡単な例
  • 6.2.3　σ-加法族の大小関係
• 6.3　測度の簡単な例
  • 6.3.1　自明な測度と有限集合上の測度
  • 6.3.2　有限分割を持つ集合上の測度
  • 6.3.3　ちょっと変わった測度（ディラック測度）

第7章　そして定義から性質を導く

• 7.1　σ-加法族の性質を定義から導く
  • 7.1.1　もっともやさしい性質の証明
  • 7.1.2　色々な集合演算についても閉じていること
• 7.2　測度の性質を定義から導く
  • 7.2.1　有限加法性
  • 7.2.2　単調性と劣加法性
  • 7.2.3　連続性

第8章　測度の構成という問題

• 8.1　σ-加法族の構成
  • 8.1.1　集合族から生成されたσ-加法族
  • 8.1.2　σ-加法族より弱い集合族
• 8.2　前測度から測度へ
  • 8.2.1　前測度の拡張としての測度
  • 8.2.2　拡張定理
  • 8.2.3　本質的な例：直線上の「長さ」とはなにか？
  • 8.2.4　ルベーグ測度の問題

［第4部　積分を再発明する̶ ルベーグ積分の世界］

第9章　ルベーグ積分

• 9.1　リーマン積分からルベーグ積分へ
  • 9.1.1　積分の復習
  • 9.1.2　リーマン積分の弱点
  • 9.1.3　高さをコントロールする̶ ルベーグ積分のアイデア
• 9.2　ルベーグ積分の構成
  • 9.2.1　可測関数
  • 9.2.2　単関数とその積分
  • 9.2.3　可測関数を単関数で近似する
  • 9.2.4　一般の積分
  • 9.2.5　ルベーグ積分の基本的な性質

第10章　ルベーグ積分の御利益の色々

• 10.1　収束定理の色々
  • 10.1.1　単調収束定理
  • 10.1.2　収束定理のヴァリエーション
  • 10.1.3　収束定理が適用できない例
• 10.2　フビニの定理
  • 10.2.1　具体的に：2次元のルベーグ測度
  • 10.2.2　抽象的に：直積測度
  • 10.2.3　フビニの定理
• 10.3　微分との関係
  • 10.3.1　積分と微分との交換
  • 10.3.2　微積分学の基本定理
  • 10.3.3　ルベーグ積分論における微分学
  • 10.3.4　最後に

• 参考文献
• 索引